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Casos de Factorización

factorización.

Factorizar una expresión algebraica es hallar dos o más factores cuyo producto es igual a la expresión propuesta.

La factorización puede considerarse como la operación inversa a la multiplicación, pues el propósito de ésta última es hallar el producto de dos o más factores; mientras que en la factorización, se buscan los factores de un producto dado.

Se llaman factores o divisores de una expresión algebraica, a los términos que multiplicados entre sí dan como producto la primera expresión.

Factor: Expresión algebraica que multiplica una segunda expresión.

(a-b)(x-z)

a-b(x-z)

CASOS DE FACORIZACION.

Caso número 1.

 FACTOR COMÚN.

Aparece en todos los términos de la expresión algebraica, un término común.

Máximo factor común. Usan la propiedad distributiva. 

El término:

1. a es el máximo entero que divide cada uno de los coeficientes del polinomio, y
2. n es el mínimo exponente de x en todos los términos del polinomio.

·        Identificar el máximo termino común.

·        Dividir la expresión algebraica original entre el máximo termino común.

·        Se escribe el factor común como un coeficiente de un paréntesis y dentro del mismo se colocan los coeficientes que son el resultado de dividir cada término del polinomio por el factor común.

Ejemplo:

4x+4y                         factor común =4

4(x+y)

Caso número 2.

FACTOR COMÚN POLINOMIO.

Es un monomio que es divisor de todos los términos de un polinomio.

Ejemplo:

1.       Descomponer  x(a+b)+m(a+b)

2.       Los dos términos de esta expresión tienen de factor común el binomio (a+b)

3.       Escribo (a+b) como coeficiente de un paréntesis y dentro de un paréntesis escribo los cocientes de dividir los dos términos de la expresión dada entre el factor común (a+b)

4.       Y tendremos como resultado (a+b)(x+m)

Ejemplo:

Caso número 3.

FACTOR COMÚN POR AGRUPACIÓN DE TÉRMINOS.

Aparece un término común compuesto después de agrupar términos con factores comunes simples.

1.       Agrupar términos con factores comunes usando la propiedad asociativa.

2.       Factorizar (caso 1) en cada grupo los factores comunes.

3.       Identificar el máximo termino común.

4.       Dividir la expresión algebraica entre el máximo termino común.

3m²-6mn+4m-8n

2am+n-1-2an+2a-m

 Ejemplo:

Ax+a-bx-b                  Se agrupan los términos que tienen las variables iguales.

(ax+a)-(bx+b)

a(x+a)-(bx+b)             Factor común.

(a-b)(x+1)                  Resultado.

Caso número 4.

TRINOMIO CUADRADO PERFECTO.

1.       Obtener la raíz cuadrada del primer y tercer término separando las raíces por el segundo término.

2.       Observar el signo del segundo término.

3.       Escribir el binomio al cuadrado.

REGLA PARA CONOCER SI UN TRINOMIO ES CUADRADO PERFECTO.

Es cuadrado perfecto cuando el primer y tercer término son cuadrados perfectos (o tienen raíz cuadrada exacta) y positivos. Y el segundo término es el doble producto de las raíces cuadradas.

Caso número 5.

 TRINOMIO DE LA FORMA X²+CX+D.

1.       Obtener la raíz cuadrada del primer termino.

2.       Determinar dos números que sumados o restados sean igual a C y que multiplicados sean igual a D.

3.       Escribir el producto de binomios.

REGLA PARA FACTORIZAR EL TRINOMIO

• o   El trinomio se descompone en dos factores binomios cuyo primer término es la raíz cuadrada del primer termino del trinomio.
• o   El signo del primer factor es el que lleva el segundo termino y el signo del segundo factor es el resultado de multiplicar el signo del segundo término por el signo tercero.
• o   Si los binomios tienen en el medio signo iguales se buscan dos números cuya suma sea el valor del segundo término y cuyo producto sea el valor del tercero.
• o   Si los signos son diferentes se buscan dos números cuya diferencia sea el valor del segundo término y cuyo producto sea el valor del tercero.

Ejemplo:

X²-12x+20  = (x-10)(x-2)

Buscar la raíz cuadrada del primer término dos números que al multiplicarlos el resultado  sea el tercer término y sumados o restados den como resultado el segundo termino.

Caso número 6.

TRINOMIO DE LA FORMA AX²+BX+C.

1.       El primer termino debe ser positivo, tener un coeficiente diferente de uno (1) y la parte literal debe ser raíz cuadrada exacta.

2.       La variable que está acompañando el segundo termino debe ser la raíz cuadrada de la variable del primer termino.

3.       Cumpliendo con esto se procede a factorizar transformando el trinomio dado de la siguiente forma:

- Se multiplican y dividen por el coeficiente que acompaña el primer termino

ax²+bx+c= a(ax²+bx+c)

               a

- Se opera dando como resultado

(ax)² +b(ax) +ac

          a

- Lo que nos queda en el numerador es un trinomio de la forma anterior y luego se procede a factorizar como en el caso anterior

Ejemplo:

6x-25x+14

6(x+25x+14)

          6

(6x)-25(6x)+84

           6

6(x-4)6(x-21)

           6

 Se simplifican los 6 y queda como resultado

(x-4)(x-21)

Caso número 7.

FACTORIZACIÓN DE LA DIFERENCIA DE CUADRADOS.

1. 1.       Identificar la diferencia de cuadrados.
2. 2.       Obtener la raíz cuadrada del primer y segundo términos.
3. 3.       Escribir el producto de binomios conjugados.

Ejemplos:

-a²-1

(a+1)(a-1)

-9-16x⁶                              buscar la raíz cuadrada del primer y segundo termino

(3+4x³)(3+4x³)                    representar el resultado con signos contrarios

Caso número 8.

CUBOS PERFECTOS.

Condiciones para que una expresión sea un cubo perfecto:

1.       Tiene cuatro términos.

2.       Que el primero y el último término sean cubos perfectos.

3.       Que el segundo termino sea más o menos el triple del cuadrado de la raíz cubica del

 primer término multiplicado por la raíz cubica del último término.

Que el tercer término sea más el triple de la raíz cubica del primer término por el cuadrado de la raíz cubica del ultimo.

Ejemplo:

• ·         Factorar

 8x³+12x²+6x+1

• ·         ¿Cumple las condiciones?

-La raíz cubica de 8x³  es 2x

-La raíz cubica de 1 es 1

• ·         El segundo termino resulta de multiplicar

3(2x)² (1)= 12x²

• ·         El tercer término resulta de multiplicar

3(2x) (1)²  = 6x

• ·         Resultado

La expresión dada es el cubo de (2x+1)

Caso número 9.

SUMA O DIFERENCIA DE CUBOS.

1.       Identificar si es suma o diferencia de cubos.

2.       Obtener la raíz cubica del primer y segundo términos.

3.       Escribir el producto del binomio por trinomio correspondiente.

27+64x⁶

Ejemplo:

a³-1                            Buscar la raíz cubica de ambos términos

(a-1)(a²+a+1)                Formula trinomio

Caso número 10.

 SUMA O DIFERENCIA DE DOS POTENCIAS IGUALES.

·    

Estrategia General

 Factorizar todos los factores comunes.

1.   Observar el número de términos entre paréntesis (o en la expresión original).
2.   Si hay:
3.   Cuatro o seis términos: factorizar por agrupación.
4.   Tres términos: probar si es tcp y factorizar así; si no es tcp, emplear el caso general.
5.   Cuadrados: buscar la diferencia de cuadrados y factorizarla.
6.   Cubos: buscar la suma o diferencia de cubos y factorizar.
7.   Asegurarse de que la expresión está factorizada completamente.